Symmetrische Algebren spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der Lie-Gruppen und in der Theorie der charakteristischen Klassen.

ist die Tensoralgebra von

sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit vertauschter Reihenfolge:

, sie wird mit

Allgemein kann man die Elemente von

, kann man die Elemente von

als Polynome in den Einträgen der Matrizen interpretieren:

sind, per Definition, die Elemente aus

(Man beachte, dass ein solches Polynom durch seine Werte

ist definiert durch

Beispielsweise in dem Modell der Lie-Gruppen und in der Lehre der symptomatischen Gattungen spielen symmetrische Buchstabenrechnungen eine fundamentale Rolle.

Die Tensoralgebra von ist.

sei generiert durch Unterschiede von Elementartensoren mit vertauschter Rangfolge :

Mit wird sie.

Man kann generell die Einzelelemente von.

Man kann die Bestandteile von.

als Polynome in den Eintragungen der Gefüge deuten :

sind, per Begriffsbestimmung, die Bestandteile aus

Dass ein solches Polynom durch seine Wertordnungen beachte ( Man.

ist konkretisiert durch